Enc. 3: Correlação de Spearman e Kendall

scipy.stats.spearmanr · scipy.stats.kendalltau

📊 Slides

🍊 Metáfora

Imagine isso…

Em vez de medir a velocidade exata de cada atleta, você registra a posição deles na corrida: 1º, 2º, 3º e assim por diante. Spearman troca os valores originais pelos seus postos (rankings) e depois aplica, sobre esses postos, uma ideia parecida com a de Pearson. Kendall segue outro caminho: em vez de postos, compara pares de atletas e conta em quantos pares a ordem se mantém igual entre as duas corridas.

Por que usar postos em vez dos valores originais? Postos preservam apenas a ordem dos dados, não a distância exata entre eles. Isso é útil quando a relação entre X e Y é monotônica (sempre sobe, ou sempre desce, mas não necessariamente em linha reta) e quando a escala dos dados é ordinal, como uma escala Likert, em que não faz sentido tratar a distância entre “concordo” e “concordo totalmente” como idêntica à distância entre “discordo” e “neutro”.

🎯 Para que serve

Spearman e Kendall são alternativas não paramétricas a Pearson: não exigem que os dados sigam distribuição normal e não assumem que a relação entre as variáveis seja uma linha reta. Ambas medem relações monotônicas: o padrão em que, à medida que X aumenta, Y tende a aumentar (ou tende a diminuir) de forma consistente, mesmo que não seja numa proporção constante.

Exemplo em learning analytics: a satisfação do estudante com o chatbot (escala Likert de 1 a 5) está associada à quantidade de sessões voluntárias realizadas?

Qual escala de satisfação usar? Em vez de perguntar “você está satisfeito?” de forma genérica, é melhor aplicar um item validado. Um exemplo simples e amplamente usado é adaptar um item da escala End-User Computing Satisfaction (EUCS, Doll & Torkzadeh, 1988): “No geral, estou satisfeito(a) com o chatbot”, com resposta em escala Likert de 1 (discordo totalmente) a 5 (concordo totalmente). Como é um único item ordinal, e não um escore composto de vários itens, ele permanece ordinal, e por isso Spearman (não Pearson) é a escolha adequada aqui.

O que é uma sessão voluntária? É uma sessão de uso do chatbot iniciada por decisão própria do estudante, sem que a disciplina exija aquele número mínimo de interações. Ela mede engajamento espontâneo: quanto mais satisfeito o estudante estiver com a ferramenta, maior a tendência de procurá-la por conta própria, fora de qualquer tarefa obrigatória.

Em termos de hipótese, para Spearman:


H₀	Não há relação monotônica entre as variáveis (ρ = 0 na população).
H₁	Existe relação monotônica (ρ ≠ 0).

Correlação não implica causalidade. Assim como em Pearson, um ρ ou τ significativo mostra associação, não prova que uma variável causa a outra. Um estudante mais satisfeito pode participar de mais sessões, ou um estudante que já participa de mais sessões pode acabar mais satisfeito por dominar melhor a ferramenta.

📐 Correlação de Spearman

🧮 Fórmula

O ρ (rho) de Spearman é calculado da mesma forma que o r de Pearson, mas aplicado aos postos (rankings) de X e de Y, em vez dos valores originais. Quando não há empates entre os valores, existe um atalho que simplifica bastante a conta:

ρ = 1 −	6 · Σ dᵢ²
	n · (n² − 1)

Lendo a fórmula: primeiro converta os valores de X e de Y em postos (1º, 2º, 3º…); dᵢ é a diferença entre o posto de X e o posto de Y para cada estudante; Σ dᵢ² soma o quadrado dessas diferenças para todos os estudantes; n é o número de estudantes. Quanto mais parecidos forem os dois rankings, menores as diferenças dᵢ, e mais perto de 1 fica ρ.

Como ρ é calculado, passo a passo:

Converta os valores de X em postos, e os valores de Y em postos, separadamente.
Para cada estudante, calcule a diferença entre os dois postos: dᵢ = posto de Xᵢ − posto de Yᵢ.
Eleve cada diferença ao quadrado e some todos os resultados → Σ dᵢ².
Aplique a fórmula acima usando n, o número de estudantes.

E quando há empates? Se dois ou mais estudantes têm o mesmo valor numa variável, cada um recebe o posto médio da posição que ocupariam. Por exemplo, se dois estudantes empatam em 2º e 3º lugar, ambos recebem posto 2,5. Com muitos empates, a fórmula simplificada acima perde precisão, e a implementação do scipy já usa por padrão o cálculo completo (equivalente ao r de Pearson sobre os postos), o que a torna confiável mesmo nesses casos.

Aplicação simples: aplicando os passos a 5 estudantes

Usando os mesmos 5 estudantes fictícios do exemplo Python mais abaixo, com a satisfação com o chatbot (escala 1 a 5) em X e o número de sessões voluntárias em Y:

Estudante	xᵢ (satisfação)	yᵢ (sessões)	posto Xᵢ	posto Yᵢ	dᵢ
A	2	3	2	2	0
B	4	8	4	4	0
C	1	1	1	1	0
D	5	12	5	5	0
E	3	5	3	3	0
Soma

Postos (passo 1): como não há empates entre os 5 estudantes, cada valor recebe um posto único de 1 a 5.
Diferenças (passo 2): dᵢ = posto Xᵢ − posto Yᵢ = 0 para todos, porque a ordem de satisfação é idêntica à ordem de sessões nesse grupo reduzido.
Soma dos quadrados (passo 3): Σ dᵢ² = 0.
Resultado (passo 4): ρ = 1 − (6 × 0) / (5 × 24) = 1 − 0 = 1,00.

Interpretação: ρ = 1,00 é uma correlação monotônica perfeita: nesses 5 estudantes fictícios, quem tem posto mais alto em satisfação tem exatamente o mesmo posto em número de sessões. No exemplo Python mais abaixo, scipy.stats.spearmanr faz esse mesmo cálculo, mas para os 10 estudantes do conjunto de dados completo, onde o resultado não é mais perfeito.

🔢 O que significa ρ (rho)?

Valor de ρ	Direção	Interpretação intuitiva
+1	positiva	Quanto maior o posto em X, maior o posto em Y, sempre.
0	nenhuma	Os postos de X e de Y variam de forma independente.
−1	negativa	Quanto maior o posto em X, menor o posto em Y, sempre.
entre 0 e ±1	parcial	Há tendência monotônica, mas com exceções na ordem.

Convenção de Cohen (1988) para o tamanho do efeito, também usada para ρ: |ρ| < 0,10 negligível · 0,10 a 0,29 pequeno · 0,30 a 0,49 médio · ≥ 0,50 grande.

📋 Quando usar Spearman

Use Spearman quando:

✅ Uma ou ambas as variáveis são ordinais, como uma escala Likert (1 a 5).
✅ As variáveis são contínuas, mas os dados violam normalidade (teste de Shapiro-Wilk: p < .05). Veja a seção sobre Shapiro-Wilk em Pearson para entender esse teste em detalhe.
✅ Há outliers que não devem ser removidos, pois trabalhar com postos reduz bastante a influência de valores extremos.
✅ A relação esperada é monotônica, mas não necessariamente em linha reta.

Exemplos em logs educacionais (learning analytics):

Satisfação com o chatbot (Likert 1 a 5) × número de sessões voluntárias: variável ordinal, não faz sentido tratar a distância entre os pontos da escala como igual.
Ranking de engajamento na turma × nota final: estudantes mais bem posicionados no ranking de participação tendem a tirar notas mais altas?
Tempo de sessão com distribuição fortemente assimétrica (cauda longa) × desempenho: normalidade comprometida, Spearman é mais robusto nesse cenário.

Evite Spearman quando:

❌ Ambas as variáveis são contínuas, aproximadamente normais e a relação é claramente linear: nesse caso, Pearson aproveita melhor a informação disponível.
❌ Você precisa distinguir uma relação linear de uma relação curvilínea: Spearman só detecta monotonicidade, não diferencia os dois formatos.
❌ A amostra é muito pequena (n < 30) ou há muitos empates: considere usar Kendall, explicado na seção seguinte.

🔍 Perguntas de pesquisa em Informática na Educação

Em pesquisas de Informática na Educação que analisam conversas de estudantes com chatbots, Spearman (e Kendall) servem para responder perguntas em que ao menos uma das variáveis é ordinal, ou em que a relação esperada é monotônica, mas não necessariamente linear:

A satisfação do estudante com o chatbot (Likert 1 a 5) está associada ao número de sessões voluntárias realizadas?
O grau de complexidade linguística das perguntas do estudante (escala ordinal: baixa/média/alta) está associado ao ranking de desempenho na turma?
A posição no ranking de engajamento (por número de interações) está associada à posição no ranking de notas?
O grau de autonomia da pergunta (escala ordinal: pede a resposta pronta → pede uma dica → tenta resolver e só confirma) está associado ao tempo total de uso do chatbot, que costuma ter distribuição assimétrica?
A percepção de utilidade do chatbot (Likert 1 a 5) está associada ao número de mensagens enviadas por sessão?

Por que não usar Pearson nessas perguntas? Escalas Likert isoladas são ordinais, não intervalares, e variáveis como tempo de uso costumam ter distribuição assimétrica (cauda longa), violando a normalidade exigida por Pearson. Spearman aproveita apenas a ordem dos valores, o que se ajusta melhor a esses casos; prefira Kendall quando a amostra for pequena (n < 30) ou houver muitos empates.

🪜 Passo a passo na prática

Visualize: plote X × Y (ou os postos de X × Y). A nuvem sobe, desce ou é um emaranhado sem padrão?
Verifique pressupostos: as variáveis são ordinais, ou violam normalidade, ou têm outliers relevantes?
Calcule: stats.spearmanr(x, y) ou df.corr(method='spearman').
Interprete: leia ρ (direção e força) e p (evidência contra H₀).
Reporte: informe ρ, p, n e, se possível, o gráfico dos postos no artigo ou relatório.

📖 Como ler o resultado

Suponha que o código abaixo retorne rho = 0.85, p = 0.002 com n = 10 estudantes:

ρ = 0,85 → relação monotônica forte e positiva: estudantes mais satisfeitos tendem a participar de mais sessões voluntárias.
p < .05 → rejeitamos H₀: a associação observada é improvável se não houvesse relação monotônica na população.
Cohen → |0,85| ≥ 0,50 → tamanho de efeito grande (com n pequeno, essa estimativa ainda é instável).

🐍 Exemplo Python: Spearman

Contexto: verificar se a satisfação do estudante com o chatbot (Likert 1 a 5) se associa ao número de sessões voluntárias.

O código converte os valores em postos, plota o gráfico de postos e calcula ρ com o intervalo de confiança de 95%.

📐 Correlação de Kendall

🎯 Conceito

Kendall mede associação de outra forma: em vez de comparar postos diretamente, ela olha para pares de estudantes e verifica se a ordem se mantém igual nas duas variáveis. Dados dois estudantes quaisquer, o par é:

Concordante: se o estudante com valor maior de X também tem valor maior de Y (os dois “sobem juntos”).
Discordante: se o estudante com valor maior de X tem valor menor de Y (um sobe, o outro desce).

O τ (tau) de Kendall é, essencialmente, a proporção de pares concordantes menos a proporção de pares discordantes.

Quando preferir Kendall a Spearman? Kendall costuma ser recomendada com amostras pequenas (n < 30) ou quando há muitos empates nos dados, situações em que sua interpretação como “diferença entre pares concordantes e discordantes” permanece estável e fácil de justificar. Seus valores tendem a ser menores, em módulo, do que os de Spearman para o mesmo conjunto de dados, mas isso é esperado: as duas medidas usam escalas diferentes, não significa que a associação seja mais fraca.

🧮 Fórmula

τ =	C − D
	n · (n − 1) / 2

Lendo a fórmula: C é o número de pares concordantes; D é o número de pares discordantes; o denominador, n · (n − 1) / 2, é o número total de pares possíveis entre os n estudantes. Se todos os pares forem concordantes, τ = 1; se todos forem discordantes, τ = −1.

Como τ é calculado, passo a passo:

Liste todos os pares possíveis de estudantes (sem repetir e sem comparar um estudante com ele mesmo).
Para cada par, compare a ordem em X e a ordem em Y: o par é concordante ou discordante?
Conte quantos pares são concordantes (C) e quantos são discordantes (D).
Aplique a fórmula acima usando o total de pares possíveis, n · (n − 1) / 2.

Aplicação simples: aplicando os passos a 4 estudantes

Usando 4 estudantes fictícios, com satisfação (X) e sessões (Y):

Estudante	xᵢ (satisfação)	yᵢ (sessões)
A	2	3
B	4	8
C	1	1
D	5	12

Com 4 estudantes há 4 · 3 / 2 = 6 pares possíveis:

Par	Comparação em X	Comparação em Y	Tipo
A, B	A < B	A < B	Concordante
A, C	A > C	A > C	Concordante
A, D	A < D	A < D	Concordante
B, C	B > C	B > C	Concordante
B, D	B < D	B < D	Concordante
C, D	C < D	C < D	Concordante

Contagem (passos 1–3): todos os 6 pares são concordantes → C = 6, D = 0.
Resultado (passo 4): τ = (6 − 0) / 6 = 1,00.

Interpretação: τ = 1,00 indica que, para todo par desses 4 estudantes, quem tem maior satisfação também tem mais sessões, sem exceções. No exemplo Python mais abaixo, scipy.stats.kendalltau faz essa mesma conta de forma automática, para os 10 estudantes do conjunto de dados completo, onde nem todos os pares concordam perfeitamente.

🔢 O que significa τ (tau)?

Valor de τ	Direção	Interpretação intuitiva
+1	positiva	Todos os pares são concordantes: a ordem em X sempre acompanha a ordem em Y.
0	nenhuma	Metade dos pares é concordante, metade é discordante: nenhuma tendência clara.
−1	negativa	Todos os pares são discordantes: a ordem em X sempre se inverte em relação a Y.

📋 Quando usar Kendall em vez de Spearman

✅ A amostra é pequena, com n < 30 estudantes.
✅ Há muitos empates nos dados, o que torna a interpretação de τ mais direta que a de ρ nesses casos.
✅ Você quer uma interpretação mais robusta a valores extremos nos postos, já que τ depende apenas da direção de cada par, não da magnitude das diferenças.
❌ Se a amostra é grande e sem muitos empates, Spearman costuma ser suficiente e é mais usada na literatura, o que facilita a comparação com outros estudos.

🐍 Exemplo Python: Kendall

Contexto: o mesmo conjunto de dados de satisfação e sessões, agora usando kendalltau, útil para comparar com o resultado de Spearman obtido acima.

📚 Referências · Biblioteca Digital IFRS

Disponíveis para consulta/e-book em ifrs.pergamum.com.br.


e-book	Siegel, S., & Castellan Jr., N. J. (2006). Estatística não-paramétrica para ciências do comportamento (2ª ed.). Porto Alegre: Artmed/Penso. Capítulos sobre postos, Spearman e Kendall.
acervo	Dancey, C. P., & Reidy, J. (2019). Estatística sem matemática para psicologia (7ª ed.). Porto Alegre: Penso.
e-book	Costa, G. G. de O. (2012). Curso de Estatística inferencial e probabilidades: teoria e prática. Rio de Janeiro: Atlas.

🌐 Referências · Recursos na Web


web (PT)	Estatística Fácil. O que é: Teste de Correlação de Spearman. Definição, fórmula e cálculo passo a passo.
web (PT)	Psicometria Online. Correlação tau de Kendall: o que é e como interpretar?. Diferenças entre Kendall e Spearman, tamanho de efeito.
web (PT)	SciELO. Análise de correlação em estudos clínicos e experimentais. Comparação prática entre Spearman e Kendall Tau-b.
web (PT)	Matos, Estatística + R: Correlação entre variáveis. Spearman e Kendall com exemplos em R.
escala de satisfação	Doll, W. J., & Torkzadeh, G. (1988). The measurement of end-user computing satisfaction. MIS Quarterly, 12(2), 259 a 274. Base do item usado na metáfora de satisfação com o chatbot.

CC BY 4.0 DEED